Was Ist Algebra?

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Algebra ist ein zweig der mathematik, der sich mit symbolen und den regeln zur manipulation dieser symbole befasst.

Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit Symbolen und den Regeln zur Manipulation dieser Symbole befasst. In der elementaren Algebra repräsentieren diese Symbole (heute als lateinische und griechische Buchstaben geschrieben) Mengen ohne feste Werte, die als Variablen bezeichnet werden. So wie Sätze Beziehungen zwischen bestimmten Wörtern beschreiben, beschreiben Gleichungen in der Algebra Beziehungen zwischen Variablen. Nehmen Sie das folgende Beispiel:

Ich habe zwei Felder mit insgesamt 1.800 Quadratmetern. Die Erträge für jedes Feld betragen ⅔ Gallone Getreide pro Quadratyard und ½ Gallone pro Quadratyard. Das erste Feld ergab 500 Gallonen mehr als das zweite. Was sind die Bereiche jedes Feldes?

Es ist eine populäre Vorstellung, dass solche Probleme erfunden wurden, um Studenten zu quälen, und dies ist möglicherweise nicht weit von der Wahrheit entfernt. Dieses Problem wurde fast sicher geschrieben, um den Schülern das Verständnis der Mathematik zu erleichtern - aber das Besondere daran ist, dass es fast 4000 Jahre alt ist! Laut Jacques Sesiano in "Eine Einführung in die Geschichte der Algebra" (AMS, 2009) basiert dieses Problem auf einer babylonischen Tontafel um 1800 v. Chr. (VAT 8389, Museum des Alten Nahen Ostens). Seit diesen Wurzeln im antiken Mesopotamien war die Algebra für viele Fortschritte in Wissenschaft, Technologie und Zivilisation insgesamt von zentraler Bedeutung. Die Sprache der Algebra hat sich in der Geschichte aller Kulturen, die sie erben (einschließlich unserer eigenen), erheblich verändert. Heute schreiben wir das Problem so:

x + y = 1800

X - 1/2 y = 500

Die Buchstaben x und y repräsentieren die Bereiche der Felder. Die erste Gleichung wird einfach als "das Addieren der zwei Bereiche ergibt eine Gesamtfläche von 1.800 Quadratmetern" verstanden. Die zweite Gleichung ist subtiler. Da x die Fläche des ersten Feldes ist und das erste Feld eine Ausbeute von zwei Dritteln einer Gallone pro Quadratyard hatte, repräsentiert "⅔ ∙ x" - was "zwei Drittel x" bedeutet, die Gesamtmenge an erzeugtem Getreide durch das erste Feld. In ähnlicher Weise steht "½ ∙ y" für die Gesamtmenge des vom zweiten Feld erzeugten Korns. Da das erste Feld 500 Gallonen mehr Korn ergab als das zweite, beträgt die Differenz (und damit die Subtraktion) zwischen dem Korn des ersten Feldes (⅔ ∙ x) und dem Korn des zweiten Feldes (½ ∙ y) (=) 500 Gallonen.

Die Antwort erscheint

Natürlich ist die Macht der Algebra nicht in der Kodierung von Aussagen über die physische Welt. Der Computerwissenschaftler und Autor Mark Jason Dominus schreibt in seinem Blog "Das Universum des Diskurses": "In der ersten Phase übersetzen Sie das Problem in Algebra, und dann manipulieren Sie in der zweiten Phase die Symbole fast mechanisch, bis die Antwort so erscheint durch Magie. " Während diese Manipulationsregeln von mathematischen Prinzipien abgeleitet sind, wurde die Neuheit und Nicht-Sequenzierbarkeit des "Drehen der Kurbel" oder "Verstopfens und Schluckens" von vielen Studenten und Fachleuten gleichermaßen bemerkt.

Hier lösen wir dieses Problem mit Techniken, wie sie heute gelehrt werden. Und als Haftungsausschluss muss der Leser nicht jeden einzelnen Schritt verstehen, um die Bedeutung dieser Gesamtmethode zu verstehen. Es ist meine Absicht, dass die historische Bedeutung und die Tatsache, dass wir das Problem ohne Scharfsinn lösen können, unerfahrene Leser dazu inspirieren werden, diese Schritte genauer zu lernen. Hier ist noch einmal die erste Gleichung:

x + y = 1800

Wir lösen diese Gleichung für y, indem wir x von subtrahieren jede Seite der Gleichung:

y = 1800 - x

Nun bringen wir die zweite Gleichung ein:

X - 1/2 y = 500

Da wir festgestellt haben, dass "1.800 - x" gleich y ist, kann es sein ersetzt in die zweite Gleichung:

X - 1/2 (1800 - x) = 500

Nächster, verteilen die negative Hälfte (–½) über den Ausdruck "1.800 - x":

+ ∙ x + (–½ ≤ 1.800) + (–½ ∙ –x) = 500

Diese vereinfacht zu:

X - 900 + 1/2 x = 500

Addiere die beiden Fraktionen von x und addiere 900 zu jede Seite der Gleichung:

(7/6) ∙ x = 1.400

Jetzt teilen jede Seite der Gleichung bis 7/6:

x = 1.200

Somit hat das erste Feld eine Fläche von 1.200 Quadratmetern. Dieser Wert kann sein ersetzt in die erste Gleichung, um y zu bestimmen:

(1.200) + y = 1.800

Subtrahiere 1.200 von jede Seite der Gleichung für y zu lösen:

y = 600

Somit hat das zweite Feld eine Fläche von 600 Quadratmetern.

Beachten Sie, wie oft wir die Operationstechnik anwenden jede Seite einer Gleichung. Diese Praxis wird am besten als Visualisierung einer Gleichung als Skala mit einem bekannten Gewicht auf einer Seite und einem unbekannten Gewicht auf der anderen Seite verstanden. Wenn wir auf jeder Seite die gleiche Gewichtsmenge addieren oder von dieser abziehen, bleibt die Waage im Gleichgewicht. In ähnlicher Weise bleibt die Waage ausgewogen, wenn wir die Gewichte gleichmäßig multiplizieren oder teilen.

Während die Technik, Gleichungen auszugleichen, fast sicher von allen Zivilisationen verwendet wurde, um die Algebra voranzutreiben, ist die Verwendung dieser Methode zur Lösung dieses alten babylonischen Problems (wie oben gezeigt) anachronistisch, da diese Technik nur in den letzten 1200 Jahren für Algebra von zentraler Bedeutung war.

Vor dem Mittelalter

Das algebraische Denken wurde grundlegend reformiert, nachdem Gelehrte des Goldenen Zeitalters des Islam Fortschritte gemacht hatten.Bis zu diesem Zeitpunkt haben die Zivilisationen, die die babylonische Mathematik erbten, die Algebra schrittweise in "prozeduralen Methoden" erarbeitet. Sesiano erklärt weiter: "Ein Schüler musste eine kleine Anzahl von [mathematischen] Identitäten auswendig lernen, und die Kunst, diese Probleme zu lösen, bestand darin, jedes Problem in eine Standardform umzuwandeln und die Lösung zu berechnen." (Abgesehen davon praktizierten Gelehrte aus dem alten Griechenland und Indien Symbolsprache, um die Zahlentheorie zu erlernen.)

Ein indischer Mathematiker und Astronom, Aryabhata (n. D. 476-550), schrieb eines der ältesten Bücher über Mathematik und Astronomie, das von modernen Gelehrten als "Aryabhatiya" bezeichnet wird. (Aryabhata hat seinen Titel nicht selbst benannt.) Das Werk ist "eine kleine astronomische Abhandlung, die in 118 Versen geschrieben ist und eine Zusammenfassung der hinduistischen Mathematik bis zu diesem Zeitpunkt gibt", so die University of St. Andrews, Schottland.

Hier ist eine Probe von Aryabhata in Sanskrit. Dies ist Vers 2.24, "Mengen aus ihren Unterschieden und Produkten":

Aryabhatiya, Vers 2.24:

Aryabhatiya, Vers 2.24: "Mengen aus ihrer Differenz und ihrem Produkt." Sanskrit, Palmblatt, A. D. 499.

Bildnachweis: Robert Coolman

Laut Kripa Shankar Shukla in "Aryabhatiya of Aryabhata" (Indian National Science Academy von Neu-Delhi, 1976) heißt dieser Vers ungefähr:

2.24: Um zwei Mengen aus Differenz und Produkt zu ermitteln, multiplizieren Sie das Produkt mit vier, addieren Sie dann das Quadrat der Differenz und nehmen Sie die Quadratwurzel. Schreiben Sie dieses Ergebnis in zwei Schlitze auf. Erhöhen Sie den ersten Schlitz um die Differenz und verringern Sie den zweiten um die Differenz. Schneiden Sie jeden Schlitz in zwei Hälften, um die Werte der beiden Größen zu erhalten.

In der modernen algebraischen Notation schreiben wir den Unterschied und das Produkt wie folgt:

x - y = A (Differenz)

x ∙ y = B (Produkt)

Die Prozedur ist dann so geschrieben:

x = [√ (4 ≤ B + A)2) + A] / 2

y = [√ (4 ∙ B + A)2) - A] / 2

Dies ist eine Variation der quadratischen Formel. Ähnliche Verfahren gibt es bereits in Babylonien und repräsentierten den Zustand der Algebra (und ihrer engen Verbindung zur Astronomie) seit mehr als 3500 Jahren in vielen Kulturen: Assyrer im 10. Jahrhundert v. Chaldeans, im 7. Jahrhundert v. Chr.; Perser, im sechsten Jahrhundert v. Chr.; Griechen, im vierten Jahrhundert v. Chr.; Römer, im ersten Jahrhundert n. Chr.; und Inder, im fünften Jahrhundert A.D.

Während solche Verfahren fast sicher aus der Geometrie stammen, ist es wichtig, zu beachten, dass die Originaltexte jeder Zivilisation absolut nichts darüber sagen, wie solche Verfahren aussehen wurden bestimmtund es wurden keine Anstrengungen unternommen Show Beweis ihrer Richtigkeit. Schriftliche Aufzeichnungen, die sich mit diesen Problemen befassten, sind im Mittelalter erschienen.

Jugendalter der Algebra

Das Goldene Zeitalter des Islam, eine Periode von der Mitte des 7. Jahrhunderts bis zur Mitte des 13. Jahrhunderts, sah die Verbreitung der griechischen und indischen Mathematik in der muslimischen Welt. In AD 820 veröffentlichte Al-Khwārizmī, ein Fakultätsmitglied des Hauses der Weisheit von Bagdad, "Al-jabr wa'l muqabalah" oder "Das kompendente Buch über die Berechnung durch Fertigstellung und Ausgleich". Von "al-jabr" leiten wir unser Wort "Algebra" ab. Al-Khwārizmī entwickelte auch schnelle Methoden zum Multiplizieren und Teilen von Zahlen, die als Algorithmen bezeichnet werden - eine Verfälschung seines Namens. Er schlug auch vor, dass ein kleiner Kreis in Berechnungen verwendet werden sollte, wenn keine Zahl in der Zehnerstelle auftaucht - und damit die Null erfunden hat.

Zum ersten Mal seit ihrer Gründung verlagerte sich die Praxis der Algebra von weg bewirbt sich verfahrenstechnische Methoden eher in Richtung Mittel prüfen und ableiten solche Methoden verwenden Geometrie und die Technik, Operationen auf jeder Seite einer Gleichung auszuführen. Laut Carl B. Boyer in "Eine Geschichte der Mathematik 3"rd Ed. "(2011, Wiley), Al-Khwārizmī fand es" notwendig, dass wir die Wahrheit der gleichen Probleme, die wir in Zahlen erklärt haben, geometrisch demonstrieren. "

Mittelalterliche muslimische Gelehrte formulierten Gleichungen als Sätze in einer Tradition, die jetzt bekannt ist rhetorisch Algebra. In den nächsten 800 Jahren entwickelte sich die Algebra über ein Spektrum rhetorischer und symbolischer Sprache, das als bekannt ist synkopiert Algebra. Das pan-eurasische Erbe des Wissens, das Mathematik, Astronomie und Navigation einschließt, fand zwischen den 11 Jahren seinen Weg nach Europathund 13th Jahrhunderte vor allem durch die Iberische Halbinsel, die den Arabern als Al-Andalus bekannt war. Besondere Übergabepunkte nach Europa waren die Eroberung Toledos durch spanische Christen im Jahr 1085, die Wiedereroberung Siziliens durch die Normannen (nach der islamischen Eroberung im Jahre 965) und die Kreuzritterkämpfe in der Levante von 1096 bis 1303. Zusätzlich eine Anzahl christliche Gelehrte wie Konstantin der Afrikaner (1017-1087), Adelard von Bath (1080-1152) und Leonardo Fibonacci (1170-1250) reisten in muslimische Länder, um Wissenschaften zu lernen.

Reifung

Völlig symbolische Algebra - wie zu Beginn des Artikels gezeigt - ist bis zur wissenschaftlichen Revolution nicht erkennbar. René Descartes (1596-1650) benutzte die Algebra, die wir heute in seiner Publikation "La Géométrie" von 1637 erkennen würden, die als Pionier der grafischen Darstellung algebraischer Gleichungen diente. Laut Leonard Mlodinow in "Euclid's Window" (Free Press, 2002) waren die geometrischen Methoden von Descartes so entscheidend für seine Einsichten, dass er schrieb: "Meine gesamte Physik ist nichts anderes als Geometrie." Algebra, nachdem sie sich von ihrem Verfahren abgewandt hatte Geometrischer Partner 800 Jahre zuvor, um sich zu einer Symbolsprache zu entwickeln, hatte sich im Kreis geschlossen.

Zusätzliche Ressourcen

  • TED Talks: Terry Moore über "Warum ist 'X' das Unbekannte?"
  • Robert Coolmans Blog, Thing Is Interesting: Alte babylonische Mathematik
  • Khan Academy: Algebra I


Videoergänzungsan: Mathematik.TV Algebra - Was ist Algebra.




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