Tessellation: Die Geometrie Der Fliesen, Der Waben Und Des M.C. Escher

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Tessellation ist ein sich wiederholendes muster der gleichen form ohne lücken oder überlappungen. Diese muster finden sich in der natur, werden von künstlern und architekten verwendet und auf ihre mathematischen eigenschaften hin untersucht.

Waben, einige Badezimmerböden und Entwürfe des Künstlers M.C. Escher haben etwas gemeinsam: Sie bestehen aus sich wiederholenden Mustern derselben Form ohne Überlappungen oder Lücken. Diese Art von Muster wird Kacheln oder Tesselation genannt.

Das Wort "Mosaikstein" bedeutet, kleine Quadrate in einem karierten oder mosaikartigen Muster zu bilden oder anzuordnen, so die Drexel University. Es kommt aus dem Griechischen Tesseres, was "vier" bedeutet. Die ersten Verkleidungen wurden aus quadratischen Fliesen hergestellt. Als Kunstform ist Tessellation besonders reich an Mathematik mit Verbindungen zu Geometrie, Topologie und Gruppentheorie. Kulturen, die von Irisch und Arabisch bis zu Indisch und Chinesisch reichen, haben alle Fliesen auf verschiedenen Schwierigkeitsgraden geübt. Lassen Sie uns die Vielfalt der Tessellationen erkunden, die wir in der Natur, im funktionalen Design und in der Kunst finden.

Regelmäßige Tessellationen

In mathematischen Begriffen beschreibt "regulär" jede Form, die alle gleichen Seiten und gleiche Winkel aufweist. Es gibt drei regelmäßige Formen, aus denen regelmäßige Mosaiken bestehen: das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das regelmäßige Sechseck. Zum Beispiel wird ein regelmäßiges Sechseck im Muster einer Wabe, der Verschachtelungsstruktur der Honigbiene, verwendet.

Gleichseitige Dreiecke, Quadrate und regelmäßige Sechsecke bilden regelmäßige Mosaiksteine.

Gleichseitige Dreiecke, Quadrate und regelmäßige Sechsecke bilden regelmäßige Mosaiksteine.

Bildnachweis: Robert Coolman

Halbregelmäßige Tessellationen

Semi-regelmäßige Tessellationen bestehen aus mehr als einer Art regulärer Polygone. Innerhalb der Grenze der gleichen Formen, die jeden Scheitelpunkt (die Punkte, an denen sich die Ecken treffen) umgeben, gibt es acht solcher Tessellationen. Jedes halbregelmäßige Tessellation wird nach der Anzahl der Seiten der jeden Scheitelpunkt umgebenden Formen benannt. Für die erste Kachelung unten besteht jeder Scheitelpunkt beispielsweise aus dem Punkt eines Dreiecks (3 Seiten), einem Sechseck (6), einem anderen Dreieck (3) und einem weiteren Sechseck (6), daher heißt es 3.6.3.6. Manchmal werden diese Tessellationen zu Ehren des dritten Jahrhunderts vor Christus als "archimedisch" bezeichnet. Griechischer Mathematiker

Halb regelmäßige Tessellationen bestehen aus Kombinationen verschiedener Formen.

Halb regelmäßige Tessellationen bestehen aus Kombinationen verschiedener Formen.

Bildnachweis: Robert Coolman

Monoedrische Tessellationen

"Mono" bedeutet "Eins" und "-Hedral" bedeutet "Form"; Monoedrische Tessellationen bestehen also nur aus einer Form, obwohl die Form gedreht oder gespiegelt werden kann. In der Sprache der Mathematik werden die Formen in einem solchen Muster als kongruent beschrieben. Jedes Dreieck (dreiseitige Form) und jedes Viereck (vierseitige Form) kann auf mindestens eine Art und Weise zu Tessellierung fähig sein. Einige wenige können jedoch auf mehrere Arten tessellieren. Nachfolgend einige Beispiele:

Monoedrische Tessellationen bestehen aus einer Form, die gedreht oder gedreht wird, um verschiedene Muster zu bilden.

Monoedrische Tessellationen bestehen aus einer Form, die gedreht oder gedreht wird, um verschiedene Muster zu bilden.

Bildnachweis: Robert Coolman

Dem Mathematiker Eric W. Weisstein von MathWorld von Wolfram Research zufolge gibt es für Fünfecke derzeit 14 bekannte Klassen von Formen, die tessellieren sollen, und nur drei für Sechsecke. Ob es mehr Klassen gibt, bleibt ein ungelöstes Problem der Mathematik. Bei Formen mit sieben oder mehr Seiten sind diese Polygone nicht tesselliert, es sei denn, sie weisen einen Winkel von mehr als 180 Grad auf. Ein solches Polygon wird als konkav beschrieben, da es eine Einbuchtung aufweist.

Nachfolgend sind einige Beispiele fünfeckiger Tessellationen aufgeführt. Die 14 fünfeckigen Tessellation-Klassen können alle im Wolfram-Demonstrationsprojekt erstellt werden.

Einige Beispiele fünfeckiger Mosaiksteine. Es sind nur 14 bekannte Muster möglich.

Einige Beispiele fünfeckiger Mosaiksteine. Es sind nur 14 bekannte Muster möglich.

Bildnachweis: Robert Coolman

Duals

Es gibt eine tiefere Verbindung, die durch viele dieser geometrischen Tessellationen führt. Viele von ihnen sind "Dualen" voneinander. Laut Branko Grünbaum, Autor von "Tilings and Patterns" (Freeman, 1987), um ein Dual der Tessellation zu erstellen, zeichnen Sie einen Punkt in die Mitte jeder Form, verbinden jeden Punkt mit den Punkten der benachbarten Form und löschen das ursprüngliche Muster. Nachfolgend einige Beispiele von Tessellationen und ihren Dualen:

Ein Dual einer regulären Tesselation wird gebildet, indem der Mittelpunkt jeder Form als Scheitelpunkt genommen wird und die Zentren benachbarter Formen verbunden werden.

Ein Dual einer regulären Tesselation wird gebildet, indem der Mittelpunkt jeder Form als Scheitelpunkt genommen wird und die Zentren benachbarter Formen verbunden werden.

Bildnachweis: Robert Coolman

M.C. Escher & modifizierte monoedrische Tessellationen

Eine einzigartige Kunstform wird durch das Modifizieren von monohedralen Tessellationen ermöglicht. Der berühmteste Praktizierende davon ist 20thKünstler M.C. Escher. Laut James Case, einem Buchrezensent der Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), teilte Escher 1937 mit seinem Bruder Skizzen aus seiner Faszination mit 11th- und 12thJahrhundert islamische Kunstwerke der Iberischen Halbinsel. Sein Bruder verwies ihn auf eine wissenschaftliche Arbeit von George Pólya aus dem Jahr 1924, in der die 17 Möglichkeiten dargestellt wurden, wie ein Muster durch seine verschiedenen Symmetrien kategorisiert werden kann. Dies inspirierte Escher weiter, der tiefgehende verschlungene Tessellationen von Tieren, Menschen und Pflanzen untersuchte.

Nach Escher "haben Kristallographen festgestellt, welche und wie viele Möglichkeiten es gibt, eine Ebene regelmäßig zu teilen. Damit haben sie das Tor geöffnet, das zu einer weitläufigen Domäne führt, aber sie haben diese Domäne nicht selbst betreten Ihrer Natur nach interessieren sie sich mehr für das Öffnen des Tors als für den dahinter liegenden Garten. "

Die folgende "Gecko" -Tessellation, die von ähnlichen Escher-Designs inspiriert ist, basiert auf einem Sechseckraster. Beachten Sie, wie jeder Gecko sechs andere berührt.

Eine Tessellation von Geckos, inspiriert von den Entwürfen von M.C. Escher.

Eine Tessellation von Geckos, inspiriert von den Entwürfen von M.C. Escher.

Bildnachweis: Robert Coolman

Aperiodische Tessellationen

Nicht alle Tessellationen wiederholen sich. Ein solches Muster (wenn man das so nennen kann) wird als "aperiodisch" bezeichnet. Nachfolgend sind drei Versionen von Penrose Tiling aufgeführt, benannt nach dem englischen mathematischen Physiker Rodger Penrose, der solche Muster erstmals 1974 an der University of Oxford veröffentlichte. Diese Muster weisen eine fünffache Symmetrie auf, eine Eigenschaft, die in keinem periodischen (sich wiederholenden) Muster zu finden ist.

Diese Tessellationen haben keine sich wiederholenden Muster. Sie werden als aperiodisch bezeichnet.

Diese Tessellationen haben keine sich wiederholenden Muster. Sie werden als aperiodisch bezeichnet.

Bildnachweis: Robert Coolman

Die mittelalterliche islamische Architektur ist besonders reich an aperiodischen Tessellation. Die Muster wurden mindestens 500 Jahre vor ihrer Entdeckung im Westen in Kunstwerken und Architektur verwendet. Ein frühes Beispiel ist Gunbad-i Qabud, ein Grabturm aus dem Jahr 1197 in Maragha, Iran. Laut ArchNet, einer Online-Architekturbibliothek, sind die Außenflächen "vollständig mit einem Ziegelmuster aus Fäden mit Zöpfen" bedeckt.

Die Geometrien innerhalb fünffach symmetrischer aperiodischer Tessellationen sind für das Gebiet der Kristallographie von Bedeutung, das seit den 1980er Jahren zur Erforschung von Quasikristallen geführt hat. Laut Peter J. Lu, einem Physiker in Harvard, haben Metallquasikristalle "ungewöhnlich hohe thermische und elektrische Widerstände aufgrund der Aperiodizität" ihrer atomaren Anordnungen.

Ein weiterer Satz interessanter aperiodischer Tessellationen sind Spiralen. Das erste Muster dieser Art wurde 1936 von Heinz Voderberg entdeckt und verwendete ein konkaves, 11-seitiges Polygon (links gezeigt). Eine weitere Spiralfliese wurde 1985 von Michael D. Hirschhorn und D. C. Hunt mit einem unregelmäßigen Fünfeck (rechts gezeigt) veröffentlicht.

Beispiele für spiralförmige Tessellationen.

Beispiele für spiralförmige Tessellationen.

Bildnachweis: Robert Coolman

Zusätzliche Ressourcen

  • Siehe M.C. Eschers Tessellationen im M.C. Escher Gallery.
  • In diesem YouTube-Video erfahren Sie mehr über Penrose Tilings.
  • Erfahren Sie mehr über die Ideen von Peter J. Lu über die Geometrie der mittelalterlichen islamischen Architektur.


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