Was Sind Quadratische Gleichungen?

{h1}

Quadratische gleichungen sind für die algebra grundlegend und basieren auf parabeln, geschossen, satellitenschüsseln und dem goldenen schnitt.

In der Mathematik ist ein Quadrat eine Art Problem, das sich mit einer Variablen multipliziert, die mit sich selbst multipliziert wird - eine Operation, die als Quadrieren bekannt ist. Diese Sprache ergibt sich aus der Fläche eines Quadrats, deren Seitenlänge mit sich selbst multipliziert wird. Das Wort "quadratisch" kommt von Quadratum, das lateinische Wort für Quadrat.

Quadratische Gleichungen charakterisieren eine große Anzahl von Phänomenen in der realen Welt, z. B. wo ein Raketenschiff landen wird, wie viel für ein Produkt berechnet werden muss oder wie lange eine Person braucht, um einen Fluss hinauf und hinunter zu rollen. Quadratics haben aufgrund ihrer vielfältigen Anwendungen eine tiefgreifende historische Bedeutung und waren für die Geschichte der Algebra von grundlegender Bedeutung.

Wasserströme aus einem Brunnen bilden Parabeln.

Wasserströme aus einem Brunnen bilden Parabeln.

Bildnachweis: Matej Kastelic Shutterstock

Die parabel

Die Mathematik der Quadratik ist untrennbar mit einer U-förmigen Kurve verbunden, die als Parabel bekannt ist. Das bekannteste Beispiel ist vielleicht ein Wasserstrahl, der aus einem Trinkbrunnen schießt. Es gibt viele andere Beispiele, wie den Querschnitt einer Satellitenschüssel oder die Kabel einer Hängebrücke.

Die Parabel war für viele Mathematiker des antiken Griechenland eine bedeutende Gestalt, wie Euklid von Alexandria (~ 300 v. Chr.), Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.), Apollonius von Perga (262-190 v. Chr.) Und Pappus von Alexandria (290 n. Chr.) -350). Diese Gelehrten stellten eine Reihe von mathematischen Eigenschaften fest, die für Parabeln typisch sind:

1. Eine Parabel ist die Menge von Punkten, die gleich weit von einem Punkt entfernt sind (a Fokus) und eine Zeile (a Directrix). Der entsprechend genannte Fokus ist in einer Reihe von modernen technischen Anwendungen wichtig, da es der Punkt auf einer Parabolschüssel ist, an dem einfallende Wellen reflektiert werden, sei es Funkwellen (wie in einer Satellitenschüssel), Licht (wie in einem konzentrierenden Solarfeld). oder Ton (wie in einem Parabolmikrofon).

Jeder Punkt einer Parabel ist von einem bestimmten Punkt und einer Linie gleich weit entfernt. Eingehende Wellen werden alle zum Fokus reflektiert.

Jeder Punkt einer Parabel ist von einem bestimmten Punkt und einer Linie gleich weit entfernt. Eingehende Wellen werden alle zum Fokus reflektiert.

Bildnachweis: Robert Coolman

2. Eine Parabel wird auch erzeugt, indem ein Kegel parallel zur Neigung der Kegelseiten geschnitten wird. Aus diesem Grund werden Parabeln in einer Reihe mathematischer Kurven genannt konische Abschnitte. Fast 2.000 Jahre nach dieser Entdeckung verstand Leonardo da Vinci (n. D. 1452-1519) in seiner Forschung über parabolische "brennende Spiegel" diese Eigenschaft und entwickelte einen Kompass, der Parabeln zeichnen konnte.

Eine Ebene, die einen Kegel schneidet, macht eine Parabel.

Eine Ebene, die einen Kegel schneidet, macht eine Parabel.

Bildnachweis: Robert Coolman

3. Änderungen in der Höhe einer Parabel sind proportional zu Änderungen des Quadrats der Breite dieser Parabola. Wenn zum Beispiel eine Parabel eine Einheit hoch ist und eine Einheit breit ist, sind es neun (drei Quadrate) Einheiten, wenn sie drei Einheiten breit ist. Aus dieser Eigenschaft hat Apollonius das Wort "Parabel" abgeleitet parabole, das griechische Wort für "Anwendung" in dem Sinne, dass die Breite selbst "angewendet" wird. Diese Eigenschaft verbindet die Form einer Parabel mit dem mathematischen Konzept des Quadratischen.

Obwohl Parabeln allgegenwärtig sind, ist es wichtig zu wissen, dass sie sich von anderen U-förmigen Kurven unterscheiden, wie beispielsweise eine hängende Kette (eine Kettenlinie), der Weg eines Kindes auf einer Schaukel (ein Kreisbogen), der Bogen einer aufrecht stehende Taschenlampe, die an eine Wand (eine Hyperbel) oder den Kamm der Seitenansicht einer Feder (ein Sinusoid) scheint. Diese anderen Kurven haben nicht die zuvor erwähnten Eigenschaften von Parabeln.

Für eine Parabel, die eine Einheit hoch ist und eine Einheit breit ist, sind es neun Einheiten (drei Quadrate), wo sie drei Einheiten breit ist. Diese Parabel wurde nach rechts gedreht, damit sie auf die Seite passt.

Für eine Parabel, die eine Einheit hoch ist und eine Einheit breit ist, sind es neun Einheiten (drei Quadrate), wo sie drei Einheiten breit ist. Diese Parabel wurde nach rechts gedreht, damit sie auf die Seite passt.

Bildnachweis: Robert Coolman

Projektilbewegung

Die Verbindung zwischen Parabeln und der Mathematik der Quadratics war im 16. Jahrhundert n. Chr. Von großer Bedeutung, als Gelehrte der europäischen Renaissance bemerkten, dass Geschosse wie Kanonenkugeln und Mörser sich auf parabolischen Bahnen bewegten. Viele bemerkenswerte Wissenschaftler dieser Zeit, darunter Leonardo da Vinci und Galileo Galilei (1564-1642), untersuchten die Projektilbewegung. Laut Joseph W. Dauben, Professor für Geschichte an der City University of New York (CUNY), weil Künstler der Renaissance besessen davon waren, die Realität genau darzustellen in KunstGalilei wurde ebenso besessen von der genauen Darstellung der Realität mit Mathematik. Im Jahr 1638 veröffentlichte Galileo den ersten Beweis, dass eine gleichförmige Erdbeschleunigung dazu führen würde, dass sich Geschosse in parabolischen Flugbahnen bewegen. Dass die Mathematik zur Beschreibung der Bewegung verwendet werden konnte, war der Schlüssel zum Fortschritt der wissenschaftlichen Revolution.

Diagramme von Quadratics

Etwa zur gleichen Zeit wie Galileo veröffentlichte der französische Philosoph und Mathematiker René Descartes (1596-1650) "La Géométrie" (1637), in dem die Technik algebraischer Gleichungen in einem als analytische Geometrie bezeichneten Bereich beschrieben wurde. Eine Variation seiner Methoden wird heute noch verwendet. Wie unten gezeigt, ist der Graph einer quadratischen Gleichung eine Parabel.

Der Graph einer quadratischen Gleichung bildet eine Parabel. Die heutige Grafiktechnik basiert auf der Arbeit von René Descartes.

Der Graph einer quadratischen Gleichung bildet eine Parabel. Die heutige Grafiktechnik basiert auf der Arbeit von René Descartes.

Bildnachweis: Robert Coolman

Ein altes Quadrat: Der Goldene Schnitt

Um die Methode der quadratischen Lösung zu verstehen, die Mathematiker, Wissenschaftler und Ingenieure heute verwenden, wollen wir ein altes mathematisches Problem untersuchen: den Goldenen Schnitt.Daneben wies George Markowsky, Mathematikprofessor an der University of Maine, in "Missverständnisse über den Goldenen Schnitt" (1992) darauf hin, dass die historische Bedeutung und der ästhetische Reiz des Goldenen Verhältnisses oft überbewertet werden, obwohl das Verhältnis tatsächlich zutreffend ist oft in Zahlentheorie (parallel zur & Fibonacci-Sequenz), Geometrie (wie in einem Ikosaeder) und Biologie (wie der Winkel zwischen den Blättern einer Pflanze).

Eine Methode zur Bestimmung des Goldenen Verhältnisses wird folgendermaßen angegeben:

Suchen Sie nach einem Rechteck mit einer Länge und Breite, so dass, wenn ein Quadrat von einem Ende des Rechtecks ​​abgeschnitten wird, das verbleibende Rechteck die gleiche Form oder das gleiche "Seitenverhältnis" wie das ursprüngliche Rechteck hat (aber im rechten Winkel gedreht).

Während die alten Griechen dieses Problem mithilfe der Geometrie gelöst haben, verwenden wir Algebra, wie es heute gelehrt wird.

Verwenden der Algebra, um den Wert der Goldenen Ratio zu bestimmen.

Verwenden der Algebra, um den Wert der Goldenen Ratio zu bestimmen.

Bildnachweis: Robert Coolman

Um zu bestimmen, in welcher Länge und Breite der Goldene Schnitt entsteht, geben wir der kurzen Seite eine Länge von 1 und der langen Seite eine Länge von x. Da das Seitenverhältnis als lange Seite geteilt durch die kurze Seite definiert ist, beträgt das Seitenverhältnis für dieses Rechteck x / 1 oder einfach x. Wenn wir aus diesem Rechteck ein Quadrat ausschneiden, hat der verbleibende Schrott eine lange Länge von 1 und eine kurze Länge von x - 1. Das Aspektverhältnis beträgt daher 1 / (x - 1). Wir verstehen, dass das Seitenverhältnis für das gesamte Rechteck und das kleinere Rechteck gleich sein sollte. Unsere Gleichung lautet x = 1 / (x - 1).

Die quadratische Formel

Hier erfahren Sie, wie die Schüler heute aufgefordert werden, diese Gleichung zu lösen. Beginnen Sie mit der Gleichung:

x = 1 / (x - 1)

Multiplizieren Sie jede Seite der Gleichung mit dem Ausdruck x - 1:

x · (x - 1) = 1

Verteilen Sie das x über den Ausdruck x - 1:

x · x - x · 1 = 1

Die mit x multiplizierte Variable wird als x² geschrieben. Diese Quadratur macht die Gleichung quadratisch:

x² - x = 1

Jetzt subtrahieren wir 1 von jeder Seite der Gleichung, um die sogenannte Standardform einer quadratischen Gleichung zu erhalten:

x² - x - 1 = 0

Äquivalent kann dies geschrieben werden als:

(1) x² + (-1) x + (-1) = 0

Wenn dies mit der Gleichung a x² + b x + c = 0 verglichen wird, ergeben sich Werte von a = 1, b = -1 und c = -1. Diese Werte werden in der quadratischen Formel als verwendet

Die moderne symbolische Form der quadratischen Gleichung.

Die moderne symbolische Form der quadratischen Gleichung.

Bildnachweis: Robert Coolman

Das Symbol "±" bedeutet "Plus oder Minus". Aus diesem Grund gibt die quadratische Formel immer zwei Lösungen an. Ersetzen Sie einen dieser Werte in die Gleichung x = 1 / (x - 1), um zu testen, ob dadurch beide Seiten der Gleichung gleich werden. Das bedeutet, dass die Methode funktioniert hat. Beachten Sie, dass diese Werte auch die Stellen sind, an denen der Graph der Standardform der Gleichung (y = x² - x - 1) die X-Achse schneidet, wobei y = 0 ist (siehe Graph oben). In diesem Fall ist der positive Wert von größerer physikalischer Bedeutung, da ein Rechteck keine negative Breite haben sollte.

Antike babylonische Ursprünge

Um einen Einblick zu geben, woher die quadratische Formel kommt und warum sie funktioniert, wollen wir ein Verfahren untersuchen, das bei einer alten babylonischen Tontafel aus der Zeit um 1800 v. Chr. Verwendet wurde. (Tablette BM 13901, British Museum). Laut Jacques Sesiano in "Eine Einführung in die Geschichte der Algebra" (AMS, 2009) lautet das erste Problem auf diesem Tablet in etwa:

Ich habe die Fläche und die Seite eines Quadrats hinzugefügt, um ¾ zu erhalten. Was ist die Seite des Platzes?

Das Problem wird in moderner Notation geschrieben als:

x² + x = ¾

Das Folgende ist eine Nacherzählung der von Sesiano beschriebenen babylonischen und arabischen Methoden. Zuerst übersetzen wir die Schritte der Babylonier, aber auch die symbolische Sprache, die wir heute in der Algebra verwenden. Völlig symbolische Sprache trat erstmals im 17. Jahrhundert in Europa auf. Da die Babylonier keine negativen Zahlen kannten, ist es notwendig, die Gleichung in der Form x zu schreiben2 + px = q, wobei p = 1 und q = ¾ ist. Im Vergleich zur modernen Standardform ax2& bx + c = 0 zeigt, dass p = b / a und q = -c / a.

Ein altes babylonisches Verfahren zur Lösung einer bestimmten Art von Quadrat. Die Übersetzung in eine moderne symbolische Notation erscheint rechts.

Ein altes babylonisches Verfahren zur Lösung einer bestimmten Art von Quadrat. Die Übersetzung in eine moderne symbolische Notation erscheint rechts.

Bildnachweis: Robert Coolman

Lassen Sie uns nun herleiten und beweisen, dass das Verfahren mit geometrischen Methoden korrekt ist, wie es die arabischen Mathematiker im neunten Jahrhundert nach Christus taten. Das Folgende ist eine Variante eines Beweises, der im persischen Mathematiker Al-Khwārizmī veröffentlicht wurde "in 820 n. Chr. Obwohl die Babylonier ihre Verfahrensmethoden fast sicher aus der Geometrie ableiteten, erschienen weder schriftliche Ableitungsunterlagen noch Korrekturnachweise bis zum Goldenen Zeitalter des Islam, einer Zeit zwischen der Mitte des 7. Jahrhunderts und der Mitte des 13. Jahrhunderts Muslime regierten ein Reich, das sich von Zentralasien bis nach Nordafrika und Iberia erstreckte.

Geometrische Demonstration, warum das alte babylonische Verfahren funktioniert. Eine Variation dieses Beweises wurde erstmals im neunten Jahrhundert nach Christus in Arabien aufgenommen, und die vollständig symbolische Sprache erschien erstmals im 17. Jahrhundert in Europa.

Geometrische Demonstration, warum das alte babylonische Verfahren funktioniert. Eine Variation dieses Beweises wurde erstmals im neunten Jahrhundert nach Christus in Arabien aufgenommen, und die vollständig symbolische Sprache erschien erstmals im 17. Jahrhundert in Europa.

Bildnachweis: Robert Coolman

Wenn wir p = b / a und q = -c / a "einstecken", vereinfacht die Formel tatsächlich die moderne Form der quadratischen Gleichung, wie sie heute gelehrt wird.

Verschiedene Formen der quadratischen Formel wurden im Laufe der Jahrhunderte in ganz Afro-Eurasien verwendet. Prozedurale Versionen wurden von den Babyloniern und Ägyptern um das 19. Jahrhundert v. Chr. Verwendet, die Chaldäer im 7. Jahrhundert v. Chr., Die Griechen im vierten Jahrhundert v. Chr. und die Indianer im fünften JahrhundertRhetorische und synkopierte Formen wurden von den Arabern im neunten Jahrhundert n. Chr. Entwickelt, und von den Europäern im 11. Jahrhundert n. Chr. Synkopierte und symbolische Formen. Die von jeder Zivilisation angewandten Methoden wurden fortschreitender, je mehr man sich mit negativen, irrationalen, imaginären und komplexen Zahlen beschäftigte.

Zusätzliche Ressourcen

  • Die Drexel University verfügt über eine unterhaltsame Webseite, die die Geschichte der grafischen Darstellung veranschaulicht.
  • Purplemath.com, eine Mathematikunterrichts-Website, erklärt Conics und Parabeln.
  • MathWorld, eine mathematische Online-Ressource, diskutiert quadratische Gleichungen.


Videoergänzungsan: Quadratische Gleichungen lösen - Einführung.




DE.WordsSideKick.com
Alle Rechte Vorbehalten!
Die Wiedergabe Von Irgendwelchen Materialien Erlaubt Nur Prostanovkoy Aktiven Link Zu Der Website DE.WordsSideKick.com

© 2005–2019 DE.WordsSideKick.com