Wie Funktioniert Tessellations?

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Tessellationen bestehen aus einer einzigen form, die sich über eine zweidimensionale ebene ohne lücken wiederholt. Erfahren sie mehr über tessellationen bei WordsSideKick.com.

Wir studieren Mathematik für ihre Schönheit, ihre Eleganz und ihre Fähigkeit, die Muster, die in das Gewebe des Universums eingewoben sind, zu kodifizieren. Innerhalb ihrer Figuren und Formeln nehmen die säkulare Ordnung und die religiösen Wahrnehmungen weit entfernte Echos der Schöpfungssprache wahr. Mathematik erreicht das Erhabene; manchmal, wie bei den Tessellationen, steigt sie zur Kunst auf.

Tessellationen - lückenlose Mosaike definierter Formen - gehören zu einer Reihe von Verhältnissen, Konstanten und Mustern, die in der Architektur wiederkehren, sich unter Mikroskopen zeigen und von jeder Wabe und Sonnenblume ausstrahlen. Wählen Sie eine beliebige Anzahl von Gleichungen in Geometrie, Physik, Wahrscheinlichkeit und Statistik, sogar Geomorphologie und Chaos-Theorie aus, und Sie werden feststellen, dass Pi (π) wie ein Eckpfeiler liegt. Eulers Zahl (e) bildet seinen Kopf wiederholt in Berechnungen, Berechnungen des radioaktiven Zerfalls, zusammengesetzten Zinsformeln und bestimmten ungeraden Wahrscheinlichkeitsfällen auf. Der Goldene Schnitt (φ) bildete die Grundlage für Kunst, Design, Architektur und Musik, lange bevor die Menschen entdeckten, dass sie auch natürliche Anordnungen von Blättern und Stengeln, Knochen, Arterien und Sonnenblumen definiert oder den Taktzyklus der Gehirnwellen angeglichen hatte. Weiss, Roopun]. Es hat sogar eine Beziehung zu einem anderen mehrjährigen Musterfavoriten, der Fibonacci-Sequenz, die ihren eigenen einzigartigen Kachelverlauf erzeugt.

Wissenschaft, Natur und Kunst sprudeln auch mit Tessellationen. Wie π, e und φ umgeben uns Beispiele für diese sich wiederholenden Muster jeden Tag, von mondänen Bürgersteigen, Tapeten, Puzzles und Fliesenböden bis hin zur großen Kunst des niederländischen Grafikers M.C. Escher oder die atemberaubende Fliesenarbeit der maurischen Festung aus dem 14. Jahrhundert, der Alhambra in Granada, Spanien. Tatsächlich leitet sich das Wort "Tessellation" ab Tessella, die Diminutivform des lateinischen Wortes Tesseraein einzelnes, normalerweise quadratisches Plättchen in einem Mosaik. Tessera wiederum kann sich aus dem griechischen Wort ergeben Tessaresbedeutet vier.

Mathematik, Naturwissenschaften und Natur hängen von nützlichen Mustern wie diesen ab, unabhängig von ihrer Bedeutung. Jenseits der transzendenten Schönheit eines Mosaiks oder Graviers finden Tessellations Anwendungen in Mathematik, Astronomie, Biologie, Botanik, Ökologie, Computergrafik, Materialwissenschaft und einer Vielzahl von Simulationen, einschließlich Straßensystemen.

In diesem Artikel zeigen wir Ihnen, was diese mathematischen Mosaiken sind, welche Art von Symmetrie sie besitzen können und welche speziellen Problemstellungen Mathematiker und Wissenschaftler in ihrem Werkzeugkasten mit problemlösenden Tricks enthalten.

Zuerst schauen wir uns an, wie man eine Tesselation baut.

Shaping Up oder Könnten Sie das bitte wiederholen?

Tessellations reichen von grundlegend bis hin zu falsch. Die einfachsten bestehen aus einer einzigen Form, die eine zweidimensionale Ebene abdeckt, ohne Lücken zu hinterlassen. Von hier aus ist die Grenze begrenzt, von komplexen Mustern mit mehreren unregelmäßigen Formen bis zu dreidimensionalen Körpern, die zusammenpassen, um den Raum oder noch höhere Dimensionen zu füllen.

Drei regelmässige geometrische Formen bilden sich selbst: gleichseitige Dreiecke, Quadrate und Sechsecke. Andere vierseitige Formen wie Rechtecke und Rhomboiden (Diamanten) sind ebenfalls möglich. Nichtquilaterale Dreiecke werden nahtlos zusammengefügt, wenn sie hintereinander platziert werden, wodurch Parallelogramme erstellt werden. Seltsamerweise sind Sechsecke jeder Form tesselliert, wenn ihre gegenüberliegenden Seiten gleich sind. Daher kann jede vierseitige Form ein lückenloses Mosaik bilden, wenn sie Rücken an Rücken platziert werden und ein Sechseck bilden.

Sie können eine Ebene auch tessellieren, indem Sie reguläre Polygone kombinieren oder reguläre und halbregulare Polygone in bestimmten Anordnungen mischen. Polygone sind zweidimensionale Formen, die aus Liniensegmenten wie Dreiecken und Rechtecken bestehen. Reguläre Polygone sind Sonderfälle von Polygonen, bei denen alle Seiten und alle Winkel gleich sind. Gleichseitige Dreiecke und Quadrate sind gute Beispiele für regelmäßige Polygone.

Alle Tessellationen, selbst formschöne und komplexe wie M.C. Beginnen Sie mit einer Form, die sich lückenlos wiederholt. Der Trick besteht darin, die Form - etwa ein Rhomboid - so zu verändern, dass sie immer noch gut zusammenpasst. Ein einfacher Ansatz besteht darin, eine Form von einer Seite zu schneiden und auf eine andere zu kleben. Dadurch entsteht eine Form, die zu sich selbst passt und leicht stapelt. Je mehr Seiten Sie ändern, desto interessanter wird das Muster.

Wenn Sie sich abenteuerlicher fühlen, versuchen Sie, eine Wellenlinie auf einer Seite zu kritzeln und dann dieselbe Linie auf die andere Seite zu kopieren. Dieser Ansatz erfordert möglicherweise einige Anpassungen, damit die Teile richtig ineinander greifen. Wenn Ihr Polygon beispielsweise eine ungerade Anzahl von Seiten hat, möchten Sie möglicherweise die übrig gebliebene Seite in zwei Hälften teilen und dann auf beiden Seiten der Teilung Spiegelbild-Shapes zeichnen. Dadurch entsteht eine Seite, die sich mit sich selbst verbindet.

Versuchen Sie Ihr Glück mit zwei oder mehr Formen, die tessellieren. Sie können dies geometrisch tun oder einfach die Seite mit einer beliebigen Form füllen und sich dann ein Bild vorstellen, das in den negativen Bereich passt. Eine verwandte Methode beinhaltet das Füllen einer bekannten Mosaikform mit kleineren Formen. Es gibt sogar fraktale Tessellationen - Muster von Formen, die eng aneinander passen und in mehreren Maßstäben selbstähnlich sind.

Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Ihre ersten Ergebnisse etwas unsinnig erscheinen. Escher brauchte Jahre, um diese verrückten Mosaiken zu beherrschen, und selbst er hatte Paarungen, die nicht immer sinnvoll waren.

Nachdem wir die Grundlagen geschaffen haben, werfen wir einen Blick auf einige der speziellen Problemstellungen, mit denen Forscher knifflige theoretische und angewandte Probleme lösen.

M.C. Escher

Kein Tessellations-Talent überragt den niederländischen Grafiker M.C.Escher. Als Lithograph, Holzfäller und Kupferstecher interessierte sich Escher für die erhabenen Formen, als er als junger Mann die Alhambra besuchte [Quelle: University of St. Andrews].

Obwohl Escher nicht der erste war, der Tessellations von geometrischen Formen zu organischen und fantastischen übertrug, etablierte er sich als herausragenden Praktiker. Seine phantasievollen, schillernden und oft unmöglichen Kunstwerke sind bis heute weit verbreitet.

Kacheln des Universums: Spezielle Tessellationen

Diese Voronoi-Tessellation betrachtet die Photonendichte einer bestimmten Region. Jeder Punkt in der Zelle steht für ein Photon.

Diese Voronoi-Tessellation betrachtet die Photonendichte einer bestimmten Region. Jeder Punkt in der Zelle steht für ein Photon.

Als die Forscher Tessellationen erforschten und mathematisch definierten, identifizierten sie bestimmte Typen, die sich bei der Lösung schwieriger Probleme auszeichnen. Ein beliebtes Beispiel ist das Voronoi Tessellation (VT) auch bekannt als Dirichlet-Tessellation oder Thiessen-Polygone.

Ein VT ist eine Tesselation, die auf einer Menge von Punkten basiert, wie Sterne in einem Diagramm. Jeder Punkt ist von einer polygonalen Zelle umgeben - einer geschlossenen Form, die aus Liniensegmenten gebildet wird -, die den gesamten Bereich umfasst, der näher an seinem Definitionspunkt liegt als an jedem anderen Punkt. Zellgrenzen (oder Polygonsegmente) sind zu zwei Punkten äquidistant; Knoten, an denen sich drei oder mehr Zellen treffen, sind zu drei oder mehr Definitionspunkten äquidistant. VTs können auch höhere Dimensionen tessellieren.

Das resultierende VT-Muster ähnelt der Art von Bienenwabe, die eine Biene nach einem nächtlichen Nektarbieger bauen könnte. Was diesen geschwungenen Zellen jedoch an Schönheit fehlt, machen sie im Wert mehr als wett.

Wie bei anderen Tessellationen tauchen VTs immer wieder in der Natur auf. Es ist leicht zu verstehen, warum: Jedes Phänomen, bei dem Punktquellen, die mit konstanter Geschwindigkeit zusammenwachsen, wie Flechtensporen auf einem Felsen, entsteht, erzeugt eine VT-ähnliche Struktur. Ansammlungen von verbundenen Blasen bilden dreidimensionale VTs, eine Ähnlichkeit, die Forscher beim Modellieren von Schaumstoffen nutzen.

VTs bieten eine nützliche Möglichkeit, Datenmuster zu visualisieren und zu analysieren. Enge gruppierte räumliche Daten zeichnen sich auf einem VT als mit Zellen dicht besiedelte Bereiche aus. Astronomen nutzen diese Eigenschaft, um sie bei der Identifizierung von Galaxienhaufen zu unterstützen.

Da ein Computerprozessor aus den Quellendaten und einem Satz einfacher Anweisungen ein VT schnell bauen kann, spart der Einsatz von VTs sowohl Speicherplatz als auch Verarbeitungsleistung - wichtige Eigenschaften für die Erzeugung modernster Computergrafiken oder für die Simulation komplexer Systeme. Durch die Reduzierung der erforderlichen Berechnungen öffnen VTs die Tür für ansonsten unmögliche Forschungen wie Proteinfaltung, Zellmodellierung und Gewebesimulation.

Ein enger Bezug zum VT, der Delaunay Tesselation bietet auch eine Vielzahl von Anwendungen. Um eine Delaunay-Tesselation vorzunehmen, beginnen Sie mit einem VT und zeichnen dann Linien zwischen den zelldefinierenden Punkten, sodass jede neue Linie eine gemeinsame Linie von zwei Voronoi-Polygonen schneidet. Das resultierende Gitter aus molligen Dreiecken bietet eine praktische Struktur zur Vereinfachung von Grafiken und Gelände.

Mathematiker und Statistiker verwenden Delaunay-Tessellationen, um ansonsten inkompatible Fragen zu beantworten, beispielsweise das Lösen einer Gleichung für jeden Punkt im Raum. Anstatt diese unendliche Berechnung durchzuführen, berechnen sie eine Lösung für jede Delaunay-Zelle.

In seiner Ansprache an die Preußische Akademie der Wissenschaften in Berlin am 27. Januar 1921 sagte Einstein: "Soweit sich die Gesetze der Mathematik auf die Realität beziehen, sind sie nicht sicher, und soweit sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf sie zur Realität. " Zweifellos genügen tessellierte Näherungen nicht der Perfektion. Trotzdem ermöglichen sie den Fortschritt, indem sie ansonsten schwerfällige Probleme auf eine durch aktuelle Rechenleistung beherrschbare Form reduzieren. Darüber hinaus erinnern sie uns an die zugrunde liegende Schönheit und Ordnung des Kosmos.

Ängstliche Symmetrie

Alle zweidimensionalen Ebenen mit sich wiederholenden Mustern fallen in eine von 17 "Tapetengruppen", die ihre Symmetrietypen beschreiben (obwohl nicht alle Tessellationen symmetrisch sind) [Quelle: Joyce]. Die vier Hauptkategorien umfassen:

  1. Translational: Schieben Sie die Ebene in eine bestimmte Richtung und sie bleibt unverändert
  2. Rotations: Drehen Sie die Ebene um einen bestimmten Winkel und bleibt unverändert
  3. Reflexion gleiten: Schieben Sie die Ebene entlang eines Vektors und reflektieren Sie ihn um denselben Vektor. Er bleibt unverändert
  4. Spiegelsymmetrie (einfache Reflexion): Halten Sie einen Spiegel an einen Teil der Ebene und er bleibt unverändert (ein Sonderfall der Gleitreflexion)

Die berühmten Mosaiken der Alhambra zeigen 13 der Symmetriegruppen. Verwendete ägyptische Kunst 12 [Quellen: Grünbaum].

Wie Funktioniert Tessellations?

FAQ - 💬

❓ What is a tessellation pattern?

👉 A pattern of shapes that fit perfectly together! A Tessellation (or Tiling) is when we cover a surface with a pattern of flat shapes so that there are no overlaps or gaps. A regular tessellation is a pattern made by repeating a regular polygon. Look at a Vertex ... A vertex is just a "corner point". What shapes meet here? and a hexagon has 6 sides.

❓ What is a fractal tessellation?

👉 A related method entails filling a known tessellating shape with smaller shapes. There are even fractal tessellations -- patterns of shapes that fit together snugly and are self-similar at multiple scales. Don't worry if your initial results seem a bit nonsensical.

❓ How do you tessellate a plane?

👉 You can also tessellate a plane by combining regular polygons, or by mingling regular and semiregular polygons in particular arrangements. Polygons are two-dimensional shapes made up of line segments, such as triangles and rectangles. Regular polygons are special cases of polygons in which all sides and all angles are equal.

❓ What is the difference between regular and semi-regular tessellation?

👉 and a hexagon has 6 sides. So this is called a "6.6.6" tessellation. For a regular tessellation, the pattern is identical at each vertex! A semi-regular tessellation is made of two or more regular polygons. The pattern at each vertex must be the same!


Videoergänzungsan: alt-J - Tessellate [OFFICIAL VIDEO].




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